已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)
x2
，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）′因為函數(shù)f(x)=
a(x-1)
x2
，
∴f′（x）=
[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)
x4
=
a(2-x)
x3

f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，
故函數(shù)在（0，2）上遞增，在（-∞，0）和（2，+∞）上遞減．
（Ⅱ）設(shè)切點為（x，y），
由切線斜率k=1=
-a(x-
2
a
)
x3
，?x3=-ax+2，①
由x-y-1=x-
a(x-1)
x2
-1=0?（x2-a）（x-1）=0?x=1，x=±
a
．
把x=1代入①得a=1，
把x=
a
代入①得a=1，
把x=-
a
代入①得a=-1，
∵a＞0．
故所求實數(shù)a的值為1
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，且g′（1）=1-a，g′（e）=2-a．
當(dāng)a＜1時，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最大值為g（e）=a+e（1-a）；
當(dāng)1＜a＜2時，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間[1，e]上先減后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為g（e）=a+e（1-a）；
當(dāng)a＞2時，g′（1），0，g′（e）＜0，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，故最大值為g（1）=0．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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