【題目】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列和
的前
項(xiàng)和分別為
,
,
,
,對(duì)任意的
,都有
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若 為等差數(shù)列,對(duì)任意的
,都有
.證明:
;
(3)若 為等比數(shù)列,
,
,求滿(mǎn)足
的
值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:利用題目提供的 方面的關(guān)系,借助
轉(zhuǎn)化為
的關(guān)系,證明出
滿(mǎn)足等差數(shù)列定義,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出
,進(jìn)而得出
,
成等差數(shù)列,寫(xiě)出
,根據(jù)
恒成立,得出
和公差
的要求,比較
的大小可采用比較法;
是以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列,求出
和
,根據(jù)題意求出
的值.
試題解析:
(1)由,得
,
即,所以
.
由,
,可知
.
所以數(shù)列是以
為首項(xiàng),
為公差的等差數(shù)列.
故的通項(xiàng)公式為
.
(2)證法一:設(shè)數(shù)列的公差為
,則
,
由(1)知, .
因?yàn)?/span>,所以
,即
恒成立,
所以 即
又由,得
,
所以
.
所以,得證.
證法二:設(shè)的公差為
,假設(shè)存在自然數(shù)
,使得
,
則,即
,
因?yàn)?/span>,所以
.
所以,
因?yàn)?/span>,所以存在
,當(dāng)
時(shí),
恒成立.
這與“對(duì)任意的,都有
”矛盾!
所以,得證.
(3)由(1)知, .因?yàn)?/span>
為等比數(shù)列,且
,
,
所以是以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列.
所以,
.
則,
因?yàn)?/span>,所以
,所以
.
而,所以
,即
(*).
當(dāng),
時(shí),(*)式成立;
當(dāng)時(shí),設(shè)
,
則,
所以.
故滿(mǎn)足條件的的值為
和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在多面體中,
與
均為邊長(zhǎng)為2的正方形,
為等腰直角三角形,
,且平面
平面
,平面
平面
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),
和1是
的兩個(gè)零點(diǎn),且
,求
的值;
(2)若,且
是
的兩個(gè)極值點(diǎn),求證:當(dāng)
時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額(單位:百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
如果y與x之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.
(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求這些數(shù)據(jù)的線(xiàn)性回歸方程;
(3)預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為9百萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某算法的流程圖如圖所示,運(yùn)行相應(yīng)程序,輸出S的值是( )
A.60
B.61
C.62
D.63
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面是邊長(zhǎng)是1的正方形,側(cè)棱PA與底面成45°的角,M,N,分別是AB,PC的中點(diǎn);
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2014年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | n | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | p |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185] | 10 | 0.100 |
合計(jì) | 100 | 1.000 |
(1)求頻率分布表中n,p的值,并補(bǔ)充完整相應(yīng)的頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,則第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試,求第4組至少有1名學(xué)生被甲考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓
的極坐標(biāo)方程為
,直線(xiàn)
與圓
交于
,
兩點(diǎn).
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程及弦
的長(zhǎng);
(2)動(dòng)點(diǎn)在圓
上(不與
,
重合),試求
的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B、C三點(diǎn)滿(mǎn)足 =
+
.
(1)求證:A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn);
(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ),f(x)=
﹣(2m+
)|
|的最小值為﹣
,求實(shí)數(shù)m的值.
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