【題目】已知兩個無窮數(shù)列和
的前
項和分別為
,
,
,
,對任意的
,都有
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若 為等差數(shù)列,對任意的
,都有
.證明:
;
(3)若 為等比數(shù)列,
,
,求滿足
的
值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:利用題目提供的 方面的關系,借助
轉化為
的關系,證明出
滿足等差數(shù)列定義,利用等差數(shù)列通項公式求出
,進而得出
,
成等差數(shù)列,寫出
,根據(jù)
恒成立,得出
和公差
的要求,比較
的大小可采用比較法;
是以
為首項,
為公比的等比數(shù)列,求出
和
,根據(jù)題意求出
的值.
試題解析:
(1)由,得
,
即,所以
.
由,
,可知
.
所以數(shù)列是以
為首項,
為公差的等差數(shù)列.
故的通項公式為
.
(2)證法一:設數(shù)列的公差為
,則
,
由(1)知, .
因為,所以
,即
恒成立,
所以 即
又由,得
,
所以
.
所以,得證.
證法二:設的公差為
,假設存在自然數(shù)
,使得
,
則,即
,
因為,所以
.
所以,
因為,所以存在
,當
時,
恒成立.
這與“對任意的,都有
”矛盾!
所以,得證.
(3)由(1)知, .因為
為等比數(shù)列,且
,
,
所以是以
為首項,
為公比的等比數(shù)列.
所以,
.
則,
因為,所以
,所以
.
而,所以
,即
(*).
當,
時,(*)式成立;
當時,設
,
則,
所以.
故滿足條件的的值為
和
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在多面體中,
與
均為邊長為2的正方形,
為等腰直角三角形,
,且平面
平面
,平面
平面
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)
的一個極值點,
和1是
的兩個零點,且
,求
的值;
(2)若,且
是
的兩個極值點,求證:當
時,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額(單位:百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù):
如果y與x之間具有線性相關關系.
(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程;
(3)預測當廣告費支出為9百萬元時的銷售額.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面是邊長是1的正方形,側棱PA與底面成45°的角,M,N,分別是AB,PC的中點;
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校在2014年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | n | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | p |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185] | 10 | 0.100 |
合計 | 100 | 1.000 |
(1)求頻率分布表中n,p的值,并補充完整相應的頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試,則第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學校決定從6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試,求第4組至少有1名學生被甲考官面試的概率.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓
的極坐標方程為
,直線
與圓
交于
,
兩點.
(1)求圓的直角坐標方程及弦
的長;
(2)動點在圓
上(不與
,
重合),試求
的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A、B、C三點滿足 =
+
.
(1)求證:A、B、C三點共線;
(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ),f(x)=
﹣(2m+
)|
|的最小值為﹣
,求實數(shù)m的值.
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