Question

已知圓C的圓心C在第一象限，且在直線3x-y=0上，該圓與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

7

，直線l：kx-y-2k+5=0與圓C相交．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求出直線l所過的定點；當(dāng)直線l被圓所截得的弦長最短時，求直線l的方程及最短的弦長．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件確定圓心和半徑即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求出直線的斜率即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（a，b），（a＞0，b＞0），半徑為r，
則b=3a，
則r=3a，
圓心到直線的距離d=

|a-3a|

12+12

=

2

a，
∵圓被直線x-y=0截得的弦長為2

7

，
∴(

2

a)2+(

7

)2=(3a)2，
即a²=1，解得a=1，
則圓心為（1，3），半徑為3，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）由kx-y-2k+5=0得y=k（x-2）+5，
則直線過定點M（2，5）．
要使弦長最短，則滿足CM⊥l，
即k=-

1

kCM

=-

1

2

，
則直線方程為x+2y-12=0，
|CM|=

5

，
則最短的弦長為2

9-( 5 )2

=2

4

=4．

點評：本題主要考查圓的方程的求解以及直線過定點問題，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系結(jié)合點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．