Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），甲、乙、丙、丁四位同學有下列結(jié)論：甲：f（3）=1；乙：函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關于直線x=4對稱；丁：若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在0，6]上所有根之和為4，其中結(jié)論正確的同學是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式的關系，得到函數(shù)的對稱關系，從而得到函數(shù)的中心對稱和軸對稱的性質(zhì)，得到本題的相關結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，f（-x）=-f（x）．
∵函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=-f（x-4），
∴f（x-8）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為8．
（1）命題甲
∵f（x-4）=-f（x），
∴f（3）=-f（-1）=f（1）．
∵x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1，
∴f（3）=1．
∴命題甲正確；
（2）命題乙
∵當x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增．
∵f（-2+x）=-f（2-x）=f[（2-x）-4]=f（-2-x），
∴函數(shù)f（x）關于直線x=-2對稱，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)．
∴命題乙正確．
（3）命題丙
∵f（4-x）=-f（x-4）=-f（x-4+8）=-f（4+x）
∴由點（4-x，f（4-x））與點（4+x，f（4+x））關于（4，0）對稱，
知：函數(shù)f（x）關于點（4，0）中心對稱．
假設函數(shù)f（x）關于直線x=4對稱，
則函數(shù)f（x）=0，與題意不符，
∴命題丙不正確．
（4）命題丁
∵當x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，0≤f（x）≤log₂3．
∵f（2-x）=-f（x-2）=f（x-2-4）=f（x-6）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
∴函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，0≤f（x）≤log₂3．
∵函數(shù)f（x）關于點（4，0）中心對稱，
∴當x∈[4，8]時，-log₂3≤f（x）≤0．
∴當m∈（0，1）時，則關于x的方程f（x）-m=0在[0，6]上所有根有兩個，且關于2對稱，
故x₁+x₂=4．
∴命題丁正確．
故答案為：甲、乙、�。�

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性與函數(shù)圖象的關系，本題綜合性強，難度較大，屬于中檔題．