Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+（a+1）x-alnx，當(dāng)a＞0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①0＜a＜1時②a＞1時的情況，從而求出其單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f′（x）=-x+（a+1）-

a

x

，
①0＜a＜1時，
令f′（x）＞0⇒（x-a）（x-1）＜0，
解得：a＜x＜1，
令f′（x）＜0⇒（x-a）（x-1）＞0，
解得：x＞1，0＜x＜a，
∴f（x）在（a，1）上遞增，在（0，a），（1，+∞）上遞減，
②a＞1時，
令f′（x）＞0⇒（x-a）（x-1）＜0，
解得：1＜x＜a，
令f′（x）＜0⇒（x-a）（x-1）＞0，
解得：x＞a，0＜x＜1，
∴f（x）在（1，a）遞增，在（0，1），（a，+∞）遞減．
③a=1時，f（x）=-（x+

1

x

）+2≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．