Question

某同學(xué)參加高二學(xué)業(yè)水平測試的4門必修科目考試．已知該同學(xué)每門學(xué)科考試成績達(dá)到“A”等級的概率均為

2

3

，且每門考試成績的結(jié)果互不影響．
（1）求該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率；
（2）已知在高考成績計(jì)分時(shí)，每有一科達(dá)到“A”，則高考成績加1分，如果4門學(xué)科均達(dá)到“A”，則高考成績額外再加1分．現(xiàn)用隨機(jī)變量Y表示該同學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的總加分，求Y的概率分別列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)4門考試成績得到“A”的次數(shù)為X，依題意，隨機(jī)變量X～B（4，

2

3

），P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1），由此能求出該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率．
（2）隨機(jī)變量Y的可能值為0，1，2，3，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y的概率分別列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)4門考試成績得到“A”的次數(shù)為X，依題意，
隨機(jī)變量X～B（4，

2

3

），
則P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）
=1-

C

0 4

(

1

3

)4-

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3=

8

9

，
故該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率為

8

9

．…（6分）
（2）隨機(jī)變量Y的可能值為0，1，2，3，5，…（7分）
P（Y=0）=

C

0 4

(

1

3

)40=

1

81

，P（Y=1）=

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3=

8

81

，
P（Y=2）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

，P（Y=3）=

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)=

32

81

，
P（Y=5）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．
隨機(jī)變量Y的概率分布如下表所示

Y	0	1	2	3	5
P	1 81	8 81	8 27	32 81	16 81

…（12分）
從而E（Y）=0×

1

81

+1×

8

81

+2×

8

27

+3×

32

81

+5×

16

81

=

232

81

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意排列組合的合理運(yùn)用，是中檔題．