Question

平面內(nèi)有向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OP

=（2，1），點(diǎn)M（x，y）為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）用只含y的代數(shù)式表示

OM

的坐標(biāo)；
（2）求

MA

•

MB

的最小值，并寫出此時(shí)

OM

的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出

OM

的坐標(biāo)，根據(jù)

OM

與

OP

共線求得x和y的關(guān)系式，進(jìn)而可以用y表示出

OM

的坐標(biāo)．
（2）表示出

MA

和

MB

，進(jìn)而可求得

MA

•

MB

的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得

MA

•

MB

的最小值及

OM

的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)

OM

=（x，y），∵點(diǎn)M在直線OP上，
∴

OM

與

OP

共線，
∵

OP

=（2，1），
∴x-2y=0，即x=2y，
∴

OM

=（2y，y）．
（2）∵

MA

=

OA

-

OM

=（1，7）-（2y，y）=（1-2y，7-y），

MB

=

OB

-

OM

=（5-2y，（1-y），
∴

MA

•

MB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）²-8，
∴當(dāng)y=2時(shí)，

MA

•

MB

取最小值-8，此時(shí)

OM

=（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算．要求學(xué)生也要對(duì)平面向量的運(yùn)算法則能力靈活運(yùn)用．