Question

已知函數(shù)f（x）=

(sinx+cosx)sin2x

sinx

（x≠kπ，k∈z）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在（

π

2

，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此可得函數(shù)的最大值、最小值、函數(shù)的周期．
（2）由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．再結(jié)合x∈（

π

2

，π），進(jìn)一步確定函數(shù)f（x）在（

π

2

，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

(sinx+cosx)sin2x

sinx

=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
故函數(shù)的最大值為

2

+1，最小值為-

2

+1，函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（2）由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
求得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
再結(jié)合x∈（

π

2

，π），可得函數(shù)f（x）在（

π

2

，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間為 （

π

2

，

5π

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．