Question

據(jù)民生所望，相關(guān)部門對(duì)所屬單位進(jìn)行整治性核查，標(biāo)準(zhǔn)如下表：

查驗(yàn)類別	甲	乙
所含指標(biāo)項(xiàng)	4	2
每項(xiàng)初查合格率	2 3	1 2
每項(xiàng)復(fù)查合格率	1 2	1 2
每項(xiàng)核查合格權(quán)重分?jǐn)?shù)	2	1
每項(xiàng)核查不合格權(quán)重分?jǐn)?shù)	0	0

規(guī)定初查累計(jì)權(quán)重分?jǐn)?shù)為10分或9分的不需要復(fù)查并給予獎(jiǎng)勵(lì)，10分的獎(jiǎng)勵(lì)18萬(wàn)元；9分的獎(jiǎng)勵(lì)8萬(wàn)元；初查累計(jì)權(quán)重分?jǐn)?shù)為7分及其以下的停下運(yùn)營(yíng)并罰款1萬(wàn)元；初查累計(jì)權(quán)重分?jǐn)?shù)為8分的要對(duì)不合格指標(biāo)進(jìn)行復(fù)查，最終累計(jì)權(quán)重得分等于初查合格部分與復(fù)查部分得分的和，最終累計(jì)權(quán)重分?jǐn)?shù)為10分方可繼續(xù)運(yùn)營(yíng)，否則停業(yè)運(yùn)營(yíng)并罰款1萬(wàn)元．
（1）求一家單位既沒(méi)獲獎(jiǎng)勵(lì)又沒(méi)被罰款的概率；
（2）求一家單位在這次整治性核查中所獲金額X（萬(wàn)元）的分布列和數(shù)學(xué)期望（獎(jiǎng)勵(lì)為正數(shù)，罰款為負(fù)數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：只有得8分的情況既沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)又沒(méi)有罰款，但是得8分時(shí)需要復(fù)查不合格指標(biāo)項(xiàng)，所以符合題意的情況有：①甲的4個(gè)指標(biāo)項(xiàng)合格，乙的2個(gè)指標(biāo)項(xiàng)不合格，并對(duì)乙的2個(gè)指標(biāo)項(xiàng)進(jìn)行復(fù)查，②甲的4個(gè)指標(biāo)項(xiàng)有3個(gè)合格，1個(gè)不合格，乙的2個(gè)指標(biāo)項(xiàng)合格并對(duì)甲中不合格的1個(gè)指標(biāo)項(xiàng)進(jìn)行復(fù)查；第二問(wèn)，通過(guò)已知條件得出，X有4種情況，列出概率表達(dá)式，列出分布列，利用期望的計(jì)算公式求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：記“初查階段甲類的一個(gè)指標(biāo)項(xiàng)合格”為事件A，“初查階段乙類的一個(gè)指標(biāo)項(xiàng)合格”為事件B，“復(fù)查階段一個(gè)指標(biāo)項(xiàng)合格”為事件C，則P（A）=

2

3

，P（B）=P（C）=

1

2

． （Ⅰ）記“一家單位既沒(méi)獲獎(jiǎng)勵(lì)又沒(méi)被罰款”為事件D，則
P（D）=[P（A）]⁴[P（

.

B

）]²[P（C）]²+

C

3 4

[P（A）]³[P（B）]²[P（C）]=

5

81

（Ⅱ）X的可能取值為-1，0，8，18．
P（X=18）=[P（A）]⁴[P（B）]²=

4

81

，
P（X=8）=[P（A）]⁴

C

1 2

[P（B）][P（

.

B

）]=

8

81

，
P（X=0）=P（1）=

5

81

，
P（X=-1）=1-P（X=18）-P（X=8）-P（X=0）=

64

81

．
X的分布列為

X	-1	0	8	18
P	64 81	5 81	8 81	4 81

X的數(shù)學(xué)期望EX=-1×

64

81

+0×

5

81

+8×

8

81

+18×

4

81

=

8

9

（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力