Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和為14，且a₁，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，T_n；
（2）記數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為K_n，設(shè)c_n=

SnTn

Kn

，求證：c_n+1＞c_n（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和為14，且a₁，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，建立方程組，求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，T_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為K_n，再作差證明c_n+1＞c_n．

解答： （1）解：設(shè)公差為d，則
∵等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和為14，且a₁，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1或d=0（舍去），a₁=2，
∴a_n=n+1，S_n=

n(n+3)

2

，
∵a₁=2，d=1，
∴a₃=4，
∴數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁=2，公比q=2，
∴b_n=2ⁿ，T_n=2ⁿ⁺¹-2；
（2）證明：∵K_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ①
∴2K_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹②
①-②可得-K_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴K_n=n•2^n-1，
∴c_n=

SnTn

Kn

=

(n+3)(2n-1-1)

2n+1

，
c_n+1-c_n＞0，
∴c_n+1＞c_n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．