Question

已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)．
（1）求

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式|2+x|+|2-x|≤4，再根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|2+x|+|2-x|≥4，從而得到|2+x|+|2-x|=4，由此利用絕對(duì)值的意義求得x的范圍．

解答： 解：（1）∵

|2a+b|+|2a-b|

|a|

=|

2a+b

a

|+|

2a-b

a

|=|2+

b

a

|+|2-

b

a

|≥|（2+

b

a

）+（2-

b

a

）|=4，
所以 

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值為4．
（2）∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2-x|），即|2+x|+|2-x|≤4．
而|2+x|+|2-x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為4，
故|2+x|+|2-x|=4，∴-2≤x≤2，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍為：[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．