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【題目】已知函數，其導函數的最大值為.

（1）求實數的值；

（2）若，證明：.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先對求導，然后根據導數形式對進行分類討論，通過導函數最大值為0，求得的值.

（2）要證，則需證，再利用的單調性，證，利用條件把換掉，構造函數

證明，對求導，研究其單調性和極值，得到結論.

（1）由題意，函數的定義域為，其導函數

記則.

當時，恒成立，所以在上單調遞增，且.

所以，有，故時不成立；

當時，若，則；若，則.

所以在單調遞增，在單調遞減。

所以.

令，則.

當時，；當時，.所以在的單減，在單增.

所以，故.

（2）當時，，則.

由（1）知恒成立，

所以在上單調遞減，

且，

不妨設，則，

欲證，只需證，因為在上單調遞減，

則只需證，又因為，

則只需證，即.

令（其中），且.

所以欲證，只需證，

由，

整理得：，

，

所以在區(qū)間上單調遞增，

所以，，

所以函數在區(qū)間上單調遞減，

所以有，，故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某小學舉辦“父母養(yǎng)育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級代碼分別為1，2…，6）的學生給父母洗腳的百分比y%進行了調查統(tǒng)計，繪制得到下面的散點圖．

（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；

（2）建立y關于x的回歸方程，并據此預計該校學生升入中學的第一年（年級代碼為7）給父母洗腳的百分比．

附注：參考數據：

參考公式：相關系數，若r＞0.95，則y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為＝ ，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數，單調遞增，，若對任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數”.若，則下列四個命題：①是在上的“追逐函數”；②若是在上的“追逐函數”，則；③是在上的“追逐函數”；④當時，存在，使得是在上的“追逐函數”.其中正確命題的個數為（ ）

A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在六面體中，平面平面，平面，，，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，且，，且，且，平面，.

（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動圓在圓：外部且與圓相切，同時還在圓：內部與圓相切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）記（1）中求出的軌跡為，與軸的兩個交點分別為、，是上異于、的動點，又直線與軸交于點，直線、分別交直線于、兩點，求證：為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某興趣小組有男生20人，女生10人，從中抽取一個容量為5的樣本，恰好抽到2名男生和3名女生，則

①該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣；

②該抽樣可能是隨機抽樣：

③該抽樣一定不是分層抽樣；

④本次抽樣中每個人被抽到的概率都是．

其中說法正確的為（ ）

A.①②③B.②③C.②③④D.③④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,為的中點.

(1)求證：平面；

(2)若,求二面角的余弦值.

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