Question

【題目】已知橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為,直線是橢圓在點(diǎn)處的切線.設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),直線與直線的交點(diǎn)為,且當(dāng)時(shí), 是等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的離心率;

（Ⅱ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）以為直徑的圓與直線相切.

解:（Ⅰ）根據(jù)題意,得直線與軸垂直,

當(dāng)時(shí), 是等腰三角形.

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系是相切,證明如下:

橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,

根據(jù)（Ⅰ）,得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ,

設(shè)直線的方程為: ,

則點(diǎn)坐標(biāo)為, 中點(diǎn)的坐標(biāo)為,

聯(lián)立方程組,消去,并整理,得

,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則

因?yàn)辄c(diǎn),

（�。┊�(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為,

點(diǎn)的坐標(biāo)為,此時(shí),以為直徑的圓與直線相切;

（ⅱ）當(dāng)時(shí),直線的斜率為,

直線的方程為: ,

,

點(diǎn)到直線的距離為,

,

以為直徑的圓與直線相切.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，結(jié)合給定的條件，得到，然后確定其離心率即可；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為: ,則點(diǎn)坐標(biāo)為, 中點(diǎn)的坐標(biāo)為,

聯(lián)立方程組,消去,并整理,得,

分情況進(jìn)行討論，結(jié)合直線與圓相切的條件進(jìn)行判斷即可．

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意,得直線與軸垂直,

當(dāng)時(shí), 是等腰三角形.

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系是相切,證明如下:

橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,

根據(jù)（Ⅰ）,得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ,

設(shè)直線的方程為: ,

則點(diǎn)坐標(biāo)為, 中點(diǎn)的坐標(biāo)為,

聯(lián)立方程組,消去,并整理,得

,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則

因?yàn)辄c(diǎn),

（�。┊�(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為,

點(diǎn)的坐標(biāo)為,此時(shí),以為直徑的圓與直線相切;

（ⅱ）當(dāng)時(shí),直線的斜率為,

直線的方程為: ,

,

點(diǎn)到直線的距離為,

,

以為直徑的圓與直線相切.