【題目】已知橢圓的中心在原點,短軸長為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于, 兩點, 為弦中點,求點的軌跡方程.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由橢圓的短軸長可求出的值,將點代入到橢圓方程可得的值,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)弦所在直線的方程為,A點坐標(biāo)為,B點坐標(biāo)為,弦的中點坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式得,代入直線得,故而得到滿足的關(guān)系式,結(jié)合點在橢圓內(nèi)得到的范圍,從而得最后結(jié)果.
試題解析:(1)依題意, ,則設(shè)橢圓方程為;
因為橢圓過,所以,即,
所以橢圓方程為.
(2)依題意,設(shè)斜率為的弦所在直線的方程為,A點坐標(biāo)為,B點坐標(biāo)為,弦的中點坐標(biāo)為,則消去,得, ∴,即, , 兩式消掉,得;又弦的中點在橢圓內(nèi)部,所以;故平行弦中點軌跡方程為: .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的經(jīng)過中心的弦稱為橢圓的一條直徑,平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條線段,稱為該直徑的共軛直徑,已知橢圓的方程為.
(1)若一條直徑的斜率為,求該直徑的共軛直徑所在的直線方程;
(2)若橢圓的兩條共軛直徑為和,它們的斜率分別為,證明:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C經(jīng)過點A(1,3) ,B(4,2),且圓心在直線l:x-y-1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)P是圓D:x2+y2+8x-2y+16=0上任意一點,過點P作圓C的兩條切線PM,PN,M,N為切點,試求四邊形PMCN面積S的最小值及對應(yīng)的點P坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,求證: ;
(3)試討論函數(shù)零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0,A、B兩點極坐標(biāo)分別為(1,π)、(1,0).
(1)求曲線C的參數(shù)方程;
(2)在曲線C上取一點P,求|AP|2+|BP|2的最值.
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【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
由 算得, .
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,規(guī)定當(dāng)一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低元,根據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購不會超過600件.
(1)設(shè)一次訂購件,服裝的實際出廠單價為元,寫出函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時,該廠獲得的利潤最大?其最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,經(jīng)過點的直線與橢圓相交于兩點,已知的周長為。
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在 中, 所對的邊分別為,且.
(1)求角的大。
(2)若, , 為的中點,求的長.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由已知,利用正弦定理可得a2=b2+c2-2b,再利用余弦定理即可得出cosA,結(jié)合A的范圍即可得解A的值.
(2)△ABC中,先由正弦定理求得AC的值,再由余弦定理求得AB的值,△ABD中,由余弦定理求得BD的值.
試題解析:
(1)因為asin A=(b-c)sin B+(c-b)·sin C,
由正弦定理得a2=(b-c)b+(c-b)c,
整理得a2=
由余弦定理得cos A===,
因為A∈(0,π),所以A=.
(2)由cos B=,得sin B===,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-=-,
由正弦定理得b===2,
所以CD=AC=1,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=()2+12-2×1××=13,
所以BD=.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過點
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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