【題目】橢圓的經(jīng)過(guò)中心的弦稱(chēng)為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點(diǎn)的軌跡為一條線段，稱(chēng)為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為.

（1）若一條直徑的斜率為，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；

（2）若橢圓的兩條共軛直徑為和，它們的斜率分別為，證明：四邊形的面積為定值.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)差法計(jì)算. 設(shè)斜率為的與直徑平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

該弦中點(diǎn)為，將坐標(biāo)代入橢圓方程，作差，然后化簡(jiǎn)得，即直徑的共軛直徑所在的直線方程為；（2）四邊形顯然為平行四邊形，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，分別求得四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，然后利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式，求得面積為.

試題解析：

（1）設(shè)斜率為的與直徑平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

該弦中點(diǎn)為，則有，，

相減得：，

由于，，且，所以得：，

故該直徑的共軛直徑所在的直線方程為.

（2）橢圓的兩條共軛直徑為和，它們的斜率分別為，

四邊形顯然為平行四邊形，設(shè)與平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

則，，而，，

，故，

由得的坐標(biāo)分別為，

故，同理的坐標(biāo)分別為，

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，四邊形的面積為,

所以，，

則，為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩人相約于下午1：00～2：00之間到某車(chē)站乘公共汽車(chē)外出，他們到達(dá)車(chē)站的時(shí)間是隨機(jī)的．設(shè)在下午1：00～2：00之間該車(chē)站有四班公共汽車(chē)開(kāi)出，開(kāi)車(chē)時(shí)間分別是1：15，1：30，1：45，2：00.求他們?cè)谙率銮闆r下乘同一班車(chē)的概率：

(1)約定見(jiàn)車(chē)就乘；

(2)約定最多等一班車(chē)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)， 的坐標(biāo)為， 在線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求的軌跡的方程.

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過(guò)的中點(diǎn)作平面∥，且分別交PB，PC于M、N，交的延長(zhǎng)線于．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓C： =1的離心率e= ，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 =1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱(chēng)橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過(guò)橢圓C上動(dòng)點(diǎn)P的切線l交橢圓C2于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明當(dāng)切線l變化時(shí)|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在約束條件 下，當(dāng)t≥0時(shí)，其所表示的平面區(qū)域的面積為S（t），S（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，正確的應(yīng)該是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出線段的中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.

試題解析：（（1）設(shè) 線段的中點(diǎn)為，∵，

∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，

∴.

∴圓的方程為.

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，

則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.

故滿足條件的切線方程為或.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品銷(xiāo)售收入（單位：萬(wàn)元）存在較好的線性關(guān)系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).

（投入成本）

7

10

11

15

17

（銷(xiāo)售收入）

19

22

25

30

34

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大還是投入成本24萬(wàn)元的毛利率更大（）？

相關(guān)公式： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知復(fù)數(shù)z＝，（m∈R，i是虛數(shù)單位）．

（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；

（2）設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)＋2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)， 為弦中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

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