Question

【題目】已知（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求證： ；

（3）試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將參數(shù)值代入得到函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可；（2）記，由題意即證，當(dāng)時(shí)， ，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性求最值即可；（3）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：

（1）解當(dāng)時(shí)， ，所以（），

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）證明：記，

由題意即證，當(dāng)時(shí)， ．

又（），

記，則，

所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，

，即證．

（3）由題意， （）．

①若，則，故在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，且，

由零點(diǎn)存在性定理知， 在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．　

②若，當(dāng)， ，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)， ，則在上單調(diào)遞減，

所以， 是在上的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)， .

（i）當(dāng)，即， 恒成立，則在上無零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)，即， ，則在上有一個(gè)零點(diǎn)；

（iii）當(dāng)，即， ，

而當(dāng)時(shí)，有，理由如下：令（），則，

所以在上單調(diào)遞增， ，即．　

，由（2）知，而，

由在上的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知， 分別在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)， 在上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上沒有零點(diǎn)．.