【題目】已知拋物線過點(diǎn)

（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；

（2）直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于，兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn).

【答案】（1）拋物線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）證明見解析；

【解析】

(1) 點(diǎn)代入求得，即可的拋物線方程求得結(jié)果.

(2) 由題意知直線斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，根據(jù)已知由:， :，及過點(diǎn)作軸的垂線求得的坐標(biāo)，根據(jù)為線段的中點(diǎn)，借助韋達(dá)定理化簡即可證得結(jié)論.

解：（1）由拋物線過點(diǎn)，

得，所以拋物線的方程為，

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.

（2）由題意知直線斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，直線與拋物線的交點(diǎn)為，.

由得，

由韋達(dá)定理，得，.

由已知得直線的方程為，所以，

由已知得直線方程為，所以.

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以①，

將，，代入①式，并化簡得，

把，代入②式，化簡得

所以直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線平面，E，F分別是，的中點(diǎn).

（1）記平面與平面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）設(shè)，求二面角大小的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系，．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）請(qǐng)求出點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為若直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線交于點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求的取值范圍．

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【題目】在正六棱錐中，底面邊長和側(cè)棱分別是2和4，，分別是和的中點(diǎn)，給出下面三個(gè)判斷：（1）和所成的角的余弦值為；（2）和底面所成的角是；（3）平面平面；其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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【題目】已知橢圓方程為．

（1）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求的值；

（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段、分別和圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．

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【題目】隨著生活水平的逐步提高，人們對(duì)文娛活動(dòng)的需求與日俱增，其中觀看電視就是一種老少皆宜的娛樂活動(dòng)．但是我們在觀看電視娛樂身心的同時(shí)，也要注意把握好觀看時(shí)間，近期研究顯示，一項(xiàng)久坐的生活指標(biāo)——看電視時(shí)間，是導(dǎo)致視力下降的重要因素，即看電視時(shí)間越長，視力下降的風(fēng)險(xiǎn)越大．研究者在某小區(qū)統(tǒng)計(jì)了每天看電視時(shí)間（單位：小時(shí)）與視力下降人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

編號(hào)

1

2

3

4

5

1

1.5

2

2.5

3

12

16

22

24

26

（1）請(qǐng)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求關(guān)于的線性回歸方程

（2）我們用（1）問求出的線性回歸方程的估計(jì)回歸方程，由于隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)值，成為點(diǎn)（，）的殘差．

①填寫下面的殘差表，并繪制殘差圖；

編號(hào)

1

2

3

4

5

1

1.5

2

2.5

3

12

16

22

24

26

②若殘差圖所在帶狀區(qū)域?qū)挾炔怀^4，我們則認(rèn)為該模型擬合精度比較高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度較高，試根據(jù)①繪制的殘差圖分折該模型擬合精度是否比較高？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．

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【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱粽子，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期的楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為2的正三角形組成的，將它沿虛線對(duì)折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為______________

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【題目】圓周率π是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的數(shù)，歷史上許多中外數(shù)學(xué)家利用各種辦法對(duì)π進(jìn)行了估算.現(xiàn)利用下列實(shí)驗(yàn)我們也可對(duì)圓周率進(jìn)行估算.假設(shè)某校共有學(xué)生N人，讓每人隨機(jī)寫出一對(duì)小于1的正實(shí)數(shù)a，b，再統(tǒng)計(jì)出a，b，1能構(gòu)造銳角三角形的人數(shù)M，利用所學(xué)的有關(guān)知識(shí)，則可估計(jì)出π的值是( )

A.B.C.D.

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【題目】如圖所示，某地區(qū)打算在一塊矩形地塊上修建一個(gè)牧場（ABCDEF圍成的封閉區(qū)域）用來養(yǎng)殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（單位：百米），DEF是一段曲線形馬路.該牧場的核心區(qū)為等腰直角三角形MPQ所示區(qū)域，該區(qū)域用來養(yǎng)殖羊，其余區(qū)域養(yǎng)殖牛，且MP=PQ，牧場大門位于馬路DEF上的M處，一個(gè)觀察點(diǎn)P位于AB的中點(diǎn)處，為了能夠更好觀察動(dòng)物的生活情況，現(xiàn)決定修建一條觀察通道，起點(diǎn)位于距離觀察點(diǎn)P處1百米的O點(diǎn)所示位置，終點(diǎn)位于Q處.如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，若滿足.

（1）求的解析式；

（2）求觀察通道OQ長度的最小值.

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