Question

已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，若有，請(qǐng)求出的范圍；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），無(wú)極大值；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，或.

【解析】

試題分析：（1）先找到函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進(jìn)行作答，在條件下求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷函數(shù)的極值；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，所以要進(jìn)行分類討論，對(duì)分三種情況，，進(jìn)行討論，分別求出每種情況下的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)果，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，要滿足題中的要求，那么或，解不等式，在的范圍內(nèi)求解.

試題解析：（1） 函數(shù)的定義域是，        1分

當(dāng)時(shí)，，

所以在上遞減，在上遞增，

所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；                     4分

（2）定義域，            5分

①當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為；由，得的減區(qū)間為；                 6分

②當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；         7分

③當(dāng)，即時(shí)，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；         8分

綜上，時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

時(shí)，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；        9分

 (3)當(dāng)時(shí)，由（2）知在的極小值為，而極大值為；

由題意，函數(shù)的圖象與在上有唯一的公共點(diǎn)，

所以，或，結(jié)合，

解得或.            13分

考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；2、含參數(shù)的分類討論思想；3、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；4、解不等式；5、求函數(shù)的極值.