Question

已知tanα、tanβ是關(guān)于x的方程mx²-2x

7m-3

+2m=0的兩個實根，則tan（α+β）的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  7 3

  3

  ，-2

  2

  ]
• B、[-

  7 2

  3

  ，-2

  2

  ]
• C、[-

  7 3

  3

  ，+∞）
• D、[-

  7 2

  3

  ，-2

  3

  ]

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)△≥0，求得m的范圍，利用韋達定理求得tanα+tanβ 和 tanα•tanβ，可得tan（α+β）=

2 7m-3

-m

．
令

7m-3

=t，則 t∈[

2

2

，3

2

]，且 tan（α+β）=-

14

3 t +t

．利用函數(shù)y=

3

t

+t的單調(diào)性，求得y的范圍，可得-

14

3 t +t

的范圍．

解答： 解：由題意可得△=-8m²+28m-12≥0，求得

1

2

≤m≤3．
而且tanα+tanβ=

2 7m-3

m

，tanα•tanβ=2．
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

2 7m-3

-m

．
令

7m-3

=t，則 t∈[

2

2

，3

2

]，且 tan（α+β）=-

14t

3+t2

=-

14

3 t +t

．
對于函數(shù)y=

3

t

+t，它在[

2

2

，

3

]上是減函數(shù)，在[

3

，3

2

]上是增函數(shù)，
當t=

2

2

時，y=

7 2

2

；當t=

3

時，y=2

3

；當t=3

2

 時，y=

7 2

2

，
∴y∈[2

3

，

7 2

2

]，∴-

14

3 t +t

∈[-

7 3

3

，-2

2

]，
故選：A．

點評：本題主要考查韋達定理、兩角和的正切公式、利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．