Question

已知函數(shù)f(x)=asinx-

1

2

cos2x+a-

3

a

+

1

2

，a∈R且a≠0．
（1）若對?x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（2）若a≥2，且?x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）可變?yōu)椋?span id="hj59j99" class="MathJye">f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

．令t=sinx（-1≤t≤1），則g(t)=t2+at+a-

3

a

，則任意x∈R，f（x）≤0恒成立?g（-1）≤0，g（1）≤0，解出即可；
（2）x∈R，使得f（x）≤0，等價于f（x）_min=g（t）_min≤0，當(dāng)a≥2時，由g（t）在[-1，1]上的單調(diào)性易求其最小值；

解答：解：（1）f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

．
令t=sinx（-1≤t≤1），則g(t)=t2+at+a-

3

a

，
對任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要條件是

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0.

解得a的取值范圍為（0，1]；
（2）因為a≥2，所以-

a

2

≤-1，g（t）在[-1，1]上遞增，
所以g(t)min=g(-1)=1-

3

a

，
因此f(x)min=1-

3

a

．
于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要條件是1-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，
故a的取值范圍是[2，3]．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，注意區(qū)分“恒成立”與“能成立”的區(qū)別．