Question

【題目】已知圓，直線是圓與圓的公共弦所在直線方程，且圓的圓心在直線上．

（1）求公共弦的長(zhǎng)度；

（2）求圓的方程；

（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線，，交圓于，，，四點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．

【解析】

（1）根據(jù)直線和圓相交求弦長(zhǎng)用直角三角形勾股定理等價(jià)條件進(jìn)行求解即可；

（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，求出圓心的半徑即可得到圓的方程；

（3）對(duì)直線，分兩種情況討論，即當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時(shí)和當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，不垂直于軸時(shí)，寫(xiě)出四邊形面積的的表達(dá)式，再利用函數(shù)知識(shí)求最大值與最小值．

圓，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，

（1）圓心到直線的距離，

公共弦；

（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，由題意得，，即，到的距離，所以的半徑，

所以圓的方程：；

（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時(shí)，，這時(shí)直線的方程為，代入到圓中，，

所以，四邊形的面積；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，不垂直于軸時(shí)，

設(shè)直線為：，

則直線為：，

所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，，，

設(shè)，

當(dāng)或1時(shí)，正好是軸及垂直軸，

面積，

當(dāng)時(shí)，最大且，或1時(shí)，最小，

四邊形面積的最大值17，最小值．