Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y+2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1 ， x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求實(shí)數(shù)c的最小值；
（3）若過(guò)點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3．

根據(jù)題意，得 即 解得

所以f（x）=x3﹣3x

（2）解：令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減

因?yàn)閒（﹣1）=2，f（1）=﹣2，

所以當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．

則對(duì)于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．

所以c的最小值為4

（3）解：因?yàn)辄c(diǎn)M（2，m）（m≠2）不在曲線(xiàn)y=f（x）上，所以可設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0）．

則y0=x03﹣3x0．

因?yàn)閒'（x0）=3x02﹣3，所以切線(xiàn)的斜率為3x02﹣3．

則3x02﹣3= ，

即2x03﹣6x02+6+m=0．

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，

所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

所以函數(shù)g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

則g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2．

當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；

所以，函數(shù)g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，有方程與函數(shù)的關(guān)系知要滿(mǎn)足題意必須滿(mǎn)足：

，即 ，解得﹣6＜m＜2

【解析】（1）由題意，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解；（3）由題意，若過(guò)點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條切線(xiàn)，等價(jià)與函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線(xiàn)的斜率這一方程有3解．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．