Question

點M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點M的軌跡方程.

Answer 1

解:取已知兩條互相垂直的直線為坐標軸，建立直角坐標系，如圖所示，

設點M的坐標為(x，y)，點M的軌跡就是到坐標軸的距離相等的點的集合P={M||MR|＝|MQ|}，其中Q、R分別是點M到x軸、y軸的垂線的垂足.

因為點M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標和橫坐標的絕對值，所以條件|MR|＝|MQ|可寫成|x|＝|y|，即x±y=0.                                                                                       ①

下面證明①是所求軌跡的方程.

(1)由求方程的過程可知，曲線上的點的坐標都是方程①的解；

(2)設點M₁的坐標(x₁，y₁)是方程①的解，那么x₁±y₁＝0，即|x₁|＝|y₁|，而|x₁|、|y₁|正是點M₁到縱軸、橫軸的距離，因此點M₁到這兩條直線的距離相等，點M₁是曲線上的點.

由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如上圖所示.

點評:建立適當的坐標系能使求軌跡方程的過程較“簡單”，所求方程的形式較“整齊”.