若點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程．

 

解析:取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，如上圖所示.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合P=｛M||MR|=|MQ|｝，其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足．

因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以條件|MR|=|MQ|可寫成|x|=|y|，即x±y=0?①

下面證明①是所求軌跡的方程．

(1)由求方程的過程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解；?

(2)設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1，y1)是方程①的解，那么x1±y1=0，?

即|x1|=|y1|，而|x1|、|y1|正是點(diǎn)M1到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)M1到這兩條直線的距離相等，點(diǎn)M1是曲線上的點(diǎn)．

由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如上圖所示．?

溫馨提示:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過程較“簡單”，所求方程的形式較“整齊”.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞二模）如圖，圓O與離心率為
3
2
的橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相切于點(diǎn)M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1、d2，求
d
2
1
+
d
2
2
的最大值；
②若3
MA
•
MC
=4
MB
•
MD
，求l1與l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇蘇州高級(jí)中學(xué)高三12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（）相切于點(diǎn)M。

⑴求橢圓T與圓O的方程；

⑵過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）。

①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為、，求的最大值；

②若，求與的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（a＞b＞0）相切于點(diǎn)M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1、d2，求的最大值；
②若，求l1與l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（a＞b＞0）相切于點(diǎn)M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1、d2，求的最大值；
②若，求l1與l2的方程．

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