Question

點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解:取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合P=｛M||MＲ|=|MＱ|｝,其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足.

因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,所以條件|MＲ|=|MＱ|可寫(xiě)成|x|=|y|,即x±y=0?①

下面證明①是所求軌跡的方程.

(1)由求方程的過(guò)程可知,曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解;

(2)設(shè)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)(x₁,y₁)是方程①的解,那么x₁±y₁=0,

即|x₁|=|y₁|,而|x₁|、|y₁|正是點(diǎn)M₁到縱軸、橫軸的距離,因此點(diǎn)M₁到這兩條直線的距離相等,點(diǎn)M₁是曲線上的點(diǎn).

由(1)(2)可知,方程①是所求軌跡的方程,圖形如上圖所示.

啟示:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過(guò)程較“簡(jiǎn)單”,所求方程的形式較“整齊”.