Question

10．把曲線C：y=sin（$\frac{7π}{8}$-x）•cos（x+$\frac{π}{8}$）向右平移a（a＞0）個(gè)單位，得到的曲線C′關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱．
（1）求a的最小值；
（2）就a的最小值證明：當(dāng)x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$）時(shí)，曲線C′上的任意兩點(diǎn)的直線斜率恒大于零．

Answer 1

分析 （1）首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)，然后根據(jù)C'圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱得到關(guān)于a的等式，對(duì)k取值，使a最�。�
（2）利用（1）的結(jié)論，只要曲線C'的方程對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)在x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$）時(shí)大于0即可．

解答 解：（1）y=sin（$\frac{7π}{8}$-x）•cos（x+$\frac{π}{8}$）=sin（x+$\frac{π}{8}$）•cos（x+$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），向右平移a個(gè)單位得到：y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a+$\frac{π}{4}$）關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，
則±$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-2a+$\frac{π}{4}$），即sin（$\frac{3π}{4}$-2a）=±1，所以$\frac{3π}{4}-2a=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，a＞0，所以a的最小值為$\frac{π}{8}$；
（2）由（1）得C'：y=$\frac{1}{2}$sin2x，所以y'=cos2x，x∈（-$\frac{8π}{7}$，-$\frac{9π}{8}$），則2x∈（$-\frac{16π}{7}，-\frac{9π}{4}$），cos2x＞0恒成立，
所以曲線C′上的任意兩點(diǎn)的直線斜率恒大于零．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)變形、平移變換以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是運(yùn)用．屬于中檔題．