Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x（x≥-2），若不等式f（x）≤0有解，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{e}-1$
• B． 2-$\frac{2}{e}$
• C． 1-$\frac{1}{e}$
• D． 1+2e²

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，從而令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

解答 解：f（x）≤0可化為
e^x（x³-3x+3）-ae^x-x≤0，
即a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則F′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+3+e^-x），
令G（x）=3x+3+e^-x，則G′（x）=3-e^-x，
故當(dāng)e^-x=3，即x=-ln3時(shí)，
G（x）=3x+3+e^-x有最小值G（-ln3）=-3ln3+6=3（2-ln3）＞0，
故當(dāng)x∈[-2，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；
故F（x）有最小值F（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；
故實(shí)數(shù)α的最小值為1-$\frac{1}{e}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用，屬于中檔題．