Question

對于函數(shù)f（x）（x∈D），若x∈D時，恒有f′（x）＞f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的J函數(shù)．
（Ⅰ）當函數(shù)f（x）=me^xlnx是定義域上的J函數(shù)時，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）為（0，+∞）上的J函數(shù)，
①試比較g（a）與e^a-1g（1）的大��；
②求證：對于任意大于1的實數(shù)x₁，x₂，x₃，…，x_n，均有g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₁）+g（lnx₂）+…+g（lnx_n）．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：

分析：（1）我們要證明它是一個J函數(shù)，就應該滿足J函數(shù)的定義f'（x）＞f（x），通過這個不等式，我們可以求出m的取值范圍，（2）在已經(jīng)告訴你是J函數(shù)的情況下，要我們比較大小，而且題干中還出現(xiàn)來e^a-1，再結合我們肯定還要運用的f'（x）＞f（x），其實等價于：f'（x）-f（x）＞0，也就是講我們在下面的解題當中要用到這兩個點，特別是后面這點，導函數(shù)減原函數(shù)，什么情況下會有，一般來講就只有除以一個e^x函數(shù)才會出現(xiàn)，在聯(lián)想到題干中給出了e^a-1，這個時候我們就可以大膽的構造新函數(shù)，也就是我們解答中的函數(shù)．第二問中的第二小問，就是要充分利用好它的上一問．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=me^xlnx，可得f′(x)=m(exlnx+

ex

x

)，
因為函數(shù)f（x）是J函數(shù)，所以m(exlnx+

ex

x

)＞mexlnx，即

mex

x

＞0，
因為

ex

x

＞0，所以m＞0，即m的取值范圍為（0，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）①構造函數(shù)h(x)=

g(x)

ex

，x∈(0，+∞)，
則h′(x)=

g′(x)-g(x)

ex

＞0，可得h（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
當a＞1時，h（a）＞h（1），即

g(a)

ea

＞

g(1)

e

，得g（a）＞e^a-1g（1）；
當0＜a＜1時，h（a）＜h（1），即

g(a)

ea

＜

g(1)

e

，得g（a）＜e^a-1g（1）；
當a=1時，h（a）=h（1），即

g(a)

ea

=

g(1)

e

，得g（a）=e^a-1g（1）．…（6分）
②因為x₁+x₂+…+x_n＞x₁，所以ln（x₁+x₂+…+x_n）＞lnx₁，
由①可知h（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞h（lnx₁），
所以

g(ln(x1+x2+…+xn))

eln(x1+x2+…+xn)

＞

g(lnx1)

elnx1

，整理得

x1g(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnx1)，
同理可得

x2g(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnx2)，…，

xng(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞g(lnxn)．
把上面n個不等式同向累加可得g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₁）+g（lnx₂）+…+g（lnx_n）．…12

點評：此題難點在于第二問，解題的關鍵是要構造一個合理的函數(shù)，怎么構造這個函數(shù)呢，就要挖掘題干中的各種暗含的意思．而出現(xiàn)e^a-1，恰恰是一個提示，暗示著新建的函數(shù)要有e^x項，再結合：f'（x）-f（x）＞0，便可猜出我們要的函數(shù)．構造函數(shù)是函數(shù)里面一種常用的方法，特別是出現(xiàn)很突然的單項式時，往往需要構造一個新的函數(shù)求解．