Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²an（n≥2），且a₁=1
①計算a₂，a₃，a₄，a₅；
②猜想a_n．

Answer 1

考點：歸納推理,數(shù)列的求和

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①利用數(shù)列的前n項和與第n項的關系，得到關于數(shù)列的遞推關系式，即可求得此數(shù)列的前幾項；
②分析a_n的值隨n值變化的規(guī)律，進而可猜想得到a_n的通項公式．

解答： 解：①∵S_n=n²a_n，
∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=

n

n+2

a_n，
∵a₁=1
∴a₂=

1

3

，
a₃=

1

6

，
a₄=

1

10

，
a₅=

1

15

，
②由a₁=1=

2

1×2

，
∴a₂=

1

3

=

2

2×3

，
a₃=

1

6

=

2

3×4

，
a₄=

1

10

=

2

4×5

，
a₅=

1

15

=

2

5×6

，
…
每一項的分子均為2，分母是n與n+1的乘積，
由此可猜想，a_n=

2

n(n+1)

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式、歸納推理，第①要注意遞推公式的靈活運用，第②要注意a_n的值隨n值變化的規(guī)律．