Question

工廠生產(chǎn)某種電子元件，假設生產(chǎn)一件正品，可獲利200元；生產(chǎn)一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件的過程中，次品率P與日產(chǎn)量x的函數(shù)關系是P=

3x

4x+32

（x∈N^*）
（1）將該產(chǎn)品的日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）為獲得最大利潤，該廠的日產(chǎn)量應定為多少件？并求出最大的利潤為多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關系即可得到結(jié)論．
（2）求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)即可求出最優(yōu)解．

解答： 解答：解：（1）因為該廠的日產(chǎn)量為x，
則其次品數(shù)為Px=

3x2

4x+32

，正品數(shù)為（1-P）x=

x2+32x

4x+32

，
根據(jù)題意得T=200×

x2+32x

4x+32

-100×

3x

4x+32

=

-25x2+1600x

x+8

．（x∈N^*）

（2）∵T=

-25x2+1600x

x+8

．（x∈N^*）
∴T′=

(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)

(x+8)2

=-25×

x2+16x-64×8

(x+8)2

=-25×

(x+32)(x-16)

(x+8)2

，
當0＜x＜16時，T'＞0；當x＞16時，T'＜0．
∴當x=16時，T有最大值，即T_max=T（16）=800元．

點評：本題考查導數(shù)知識在生產(chǎn)生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．