Question

甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

，各局比賽結果相互獨立．
（Ⅰ）求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記X為比賽決勝出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學期望）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．
（2）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列；以及均值．

解答： 解：用A表示甲在4局以內（含4局）贏得比賽的是事件，A_k表示第k局甲獲勝，B_k表示第k局乙獲勝，
則P（A_k）=

2

3

，P（B_k）=

1

3

，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂A₃A₄）=（

2

3

）²+

1

3

×（

2

3

）²+

2

3

×

1

3

×（

2

3

）²=

56

81

．
（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5．
P（X=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=

5

9

，
P（X=3）=P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂B₃）=

2

9

，
P（X=4）=P（A₁B₂A₃A₄）+P（B₁A₂B₃B₄）=

10

81

，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₅）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）=

24

243

=

8

81

，
或者P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=

8

81

，
故分布列為：

X	2	3	4	5
P	5 9	2 9	10 81	8 81

E（X）=2×

5

9

+3×

2

9

+4×

10

81

+5×

8

81

=

224

81

．

點評：本題主要考查概率的計算，以及離散型分布列的計算，以及利用期望的計算，考查學生的計算能力．