Question

【題目】已知點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線為， 軸，交于點(diǎn)，直線垂直平分，交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，且（為常數(shù)），直線與平行，且與曲線相切，切點(diǎn)為，試問的面積是否為定值.若為定值，求出的面積；若不是定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的面積為定值.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)M的軌跡，根據(jù)待定系數(shù)法可得軌跡方程．（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后可得中點(diǎn)．同樣設(shè)出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立消元后可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故得 軸．于是，由此通過計(jì)算可證得的面積為定值．

試題解析：

（1）由題意得，

即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)軌跡方程為．

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消去x整理得 ．

則 ．

設(shè)的中點(diǎn)為,

則點(diǎn)．

由條件設(shè)切線方程為，

由消去y整理得 ．

∵ 直線與拋物線相切，

∴，

∴ ，

∴切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴ 點(diǎn)．

∴ 軸．

∵，

∴，

∴．

∴，

∵為常數(shù)，

∴的面積為定值．