Question

【題目】已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足， ，其中， ，

， .

（1）若， ， （），求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析： 根據(jù)已知條件得到，兩式相減得，得到求得的值，進(jìn)而得到，即可得到數(shù)列為以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，然后求得數(shù)列的前項(xiàng)和；

將，且代入，解得， ，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明

解析：（1），所以.兩式相減得.

即

所以，即，

又，所以，得

因此數(shù)列為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. ，前n項(xiàng)和為

（2）當(dāng)n = 2時(shí)， ，

所以. 又，可以解得，

所以， ，兩式相減得

即. 猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

① 當(dāng)n = 1或2時(shí)， ， ，猜想成立；

② 假設(shè)當(dāng)（）時(shí)， 成立

則當(dāng)時(shí)， 猜想成立.

由①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n， .

所以為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列.