Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，設(shè)常數(shù)b＜2

2

-3，且對(duì)任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

∵b＜2

2

-3＜0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，故考慮x∈（0，1]時(shí)，原不等式變?yōu)閨x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
∴只需對(duì)x∈（0，1]滿足

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min，(2)

．
對(duì)（1）式，由b＜0時(shí)，在（0，1]上，f（x）=x+

b

x

為增函數(shù)，
∴(x+

b

x

)max=f（1）=1+b
∴a＞1+b．（3）
對(duì)（2）式，①當(dāng)-1≤b＜0時(shí)，在（0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

（當(dāng)且僅當(dāng)x=-

b

x

，即x=

-b

時(shí)取等號(hào)）；
∴(x-

b

x

)min=2

-b

．
∴a＜2

-b

．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，解得-1≤b＜-3+2

2

．
∴當(dāng)-1≤b＜-3+2

2

時(shí)，1+b＜a＜2

-b

．
②當(dāng)b＜-1時(shí)，在（0，1]上，f（x）=x-

b

x

為減函數(shù)，
∴(x-

b

x

)min=f（1）=1+b，
∴當(dāng)b＜-1時(shí)，1+b＜a＜1-b．
綜上所述，當(dāng)-1≤b＜2

2

-3時(shí)a的取值范圍是（1+b，2

-b

）；
當(dāng)b＜-1時(shí)，a的取值范圍是（1+b，1-b）．