【題目】如圖1，，點為線段的中點，點為線段上靠近的三等分點.現(xiàn)沿進行翻折，得到四棱錐，如圖2，且.在圖2中：

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由的特殊直角三角形可知AC，再由余弦定理可求得MN，進而由勾股定理可證，且，最后由線面垂直的判定定理即可得證；

（2）在圖1中，，所以，即，即可以為原點，建立空間直角坐標系，即可表示與平面的法向量，最后由空間中向量法求得線面角的正弦值.

（1）證明：因為，所以.

由題意，得，所以.

在中，由余弦定理，得，

則，所以在圖2中，，所以.

又，且，即在圖2中，，所以，

又，平面，所以平面.

（2）在圖1中，，所以，即.

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）可知，，，，，則，.

設(shè)平面的法向量為，

則即解得令，則.

設(shè)直線與平面所成角為，又，

則.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知橢圓過點，，是兩個焦點．以橢圓的上頂點為圓心作半徑為的圓，

（1）求橢圓的方程；

（2）存在過原點的直線，與圓分別交于，兩點，與橢圓分別交于，兩點（點在線段上），使得，求圓半徑的取值范圍．

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【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上的唯一零點為2，并且當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】成都七中為了解班級衛(wèi)生教育系列活動的成效，對全校40個班級進行了一次突擊班級衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）.根據(jù)檢查結(jié)果：得分在評定為“優(yōu)”，獎勵3面小紅旗；得分在評定為“良”，獎勵2面小紅旗；得分在評定為“中”，獎勵1面小紅旗；得分在評定為“差”，不獎勵小紅旗.已知統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖如下圖：

（1）依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；

（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評定等級為“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的班級中抽取10個班級，再從這10個班級中隨機抽取2個班級進行抽樣復(fù)核，記抽樣復(fù)核的2個班級獲得的獎勵小紅旗面數(shù)和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，,的中點，點在線段上，.

(1)求證：平面；

(2)若平面平面，，，求點到平面的距離.

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【題目】已知函數(shù) ()，將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，則以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）

A.若，是的零點，則是的整數(shù)倍

B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.點是函數(shù)圖象的對稱中心

D.是函數(shù)圖象的對稱軸

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【題目】動點與定點的距離和該動點到直線的距離的比是常數(shù)．

（1）求動點軌跡方程；

（2）已知點，問在軸上是否存在一點，使得過點的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點，都有．

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【題目】新能源汽車已經(jīng)走進我們的生活，逐漸為大家所青睞.現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進行預(yù)售，預(yù)售場面異常火爆，故該經(jīng)銷商采用競價策略基本規(guī)則是：①競價者都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與競價的總?cè)藬?shù)；②競價采用“一月一期制”，當月競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當期汽車配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競價，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近5個月參與競價的人數(shù)（如下表）

月份

2020.01

2020.02

2020.03

2020.04

2020.05

月份編號

1

2

3

4

5

競拍人數(shù)（萬人）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競價人數(shù)y（萬人）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預(yù)測2020年6月份（月份編號為6）參與競價的人數(shù)；

（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2020年6月份汽車競價人員的報價進行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：

報價區(qū)間（萬元）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位競價人員報價的平均值和樣本方差s2（同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點值代替）

（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布且μ與σ2可分別由（i）中所示的樣本平均數(shù)及s2估計.若2020年月6份計劃提供的新能源車輛數(shù)為3174，根據(jù)市場調(diào)研，最低成交價高于樣本平均數(shù)，請你預(yù)測（需說明理由）最低成交價.

參考公式及數(shù)據(jù)：

①回歸方程，其中

②

③若隨機變量X服從正態(tài)分布則

.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求曲線與交點的極坐標.

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