【題目】動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和該動點(diǎn)到直線的距離的比是常數(shù)．

（1）求動點(diǎn)軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點(diǎn)，都有．

【答案】（1）；（2）存在，坐標(biāo)為

【解析】

(1)根據(jù)題意列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式,再化簡方程即可.

(2) 設(shè),再討論當(dāng)⊥軸時可得,即若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.再討論斜率存在時,設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達(dá)定理,證明即可.

（1）由題意,知,即.

解得曲線的方程為.

（2）法一：設(shè),易知,

①若⊥軸時,由,此時,滿足橢圓方程,

∴,解得（舍）,可知若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)斜率為k,

設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,

消去得,∴.

,∴

,

綜合①②可知,存在點(diǎn),使得.

（2）（解法二）設(shè),易知,設(shè).

若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,

,,

,

即是①,

由,得,

代入①式得

化簡,

整理得②,

為使與斜率無關(guān),由②式得出,解得（舍）,

這說明與軸不垂直時,是過的弦,恒有,

若⊥軸時,：,是等腰三角形,,

,,,,

可見是等腰直角三角形,,

綜上,過的弦總有.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠A，B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，若該產(chǎn)品按照一、二、三等級分類，則每件可分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從A，B生產(chǎn)線的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如下圖：

（I）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)？

（II）求抽取的200件產(chǎn)品的平均利潤；

（III）估計該廠若產(chǎn)量為2000件產(chǎn)品時，一等級產(chǎn)品的利潤.

附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表

…

…

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn).現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，得到四棱錐，如圖2，且.在圖2中：

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省為迎接新高考，擬先對考生某選考學(xué)科的實(shí)際得分進(jìn)行等級賦分，再按賦分后的分?jǐn)?shù)從高分到低分劃A、B、C、D、E五個等級，考生實(shí)際得分經(jīng)賦分后的分?jǐn)?shù)在到1之間.在等級賦分科學(xué)性論證時，對過去一年全省高考考生的該學(xué)科成績重新賦分后進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取2000名學(xué)生的該學(xué)科賦分后的成績，得到如下頻率分布直方圖：(不考慮缺考考生的試卷)

附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，＝14.59，∑(xi－)2pi＝213

（1）求這2000名考生賦分后該學(xué)科的平均(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表)；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，學(xué)生經(jīng)過賦分以后的成績X服從正態(tài)分布X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2：

(i)利用正態(tài)分布，求P(50.41＜X＜79.59)；

(ii)某市有20000名高三學(xué)生，記Y表示這20000名高三學(xué)生中賦分后該學(xué)科等級為A等(即得分大于79.59)的學(xué)生數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求EY.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】按照水果市場的需要等因素，水果種植戶把某種成熟后的水果按其直徑的大小分為不同等級.某商家計劃從該種植戶那里購進(jìn)一批這種水果銷售.為了了解這種水果的質(zhì)量等級情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100個這種水果，統(tǒng)計得到如下直徑分布表（單位：mm）：

d

等級

三級品

二級品

一級品

特級品

特級品

頻數(shù)

1

m

29

n

7

用分層抽樣的方法從其中的一級品和特級品共抽取6個，其中一級品2個.

（1）估計這批水果中特級品的比例；

（2）已知樣本中這批水果不按等級混裝的話20個約1斤，該種植戶有20000斤這種水果待售，商家提出兩種收購方案：

方案A：以6.5元/斤收購；

方案B：以級別分裝收購，每袋20個，特級品8元/袋，一級品5元/袋，二級品4元/袋，三級品3元/袋.

用樣本的頻率分布估計總體分布，問哪個方案種植戶的收益更高？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)共有1000人,其中男生700人,女生300人,為了了解該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的情況以及經(jīng)常進(jìn)行體育鍛煉的學(xué)生是否與性別有關(guān)（經(jīng)常進(jìn)行體育鍛煉是指：周平均體育鍛煉時間不少于4小時）,現(xiàn)在用分層抽樣的方法從中收集200位學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）,其頻率分布直方圖如圖.已知在樣本數(shù)據(jù)中,有40位女生的每周平均體育鍛煉時間超過4小時,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理（ ）

附：,其中.

0.10

0.05

0.01

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

A.有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別無關(guān)”

B.有90%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”

C.有90%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別無關(guān)”

D.有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始，高考采用取消文理分科，實(shí)行“”的模式，其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學(xué)生（其中女生900人）.該校為了解高一年級學(xué)生對“1”的選課情況，采用分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

________

50

女生

30

________

總計

________

________

200

（1）求，的值；

（2）請你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001/span>

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（在花卉進(jìn)行硬枝扦插過程中，常需要用生根粉調(diào)節(jié)植物根系生長.現(xiàn)有20株使用了生根粉的花卉，在對最終“花卉存活”和“花卉死亡”進(jìn)行統(tǒng)計的同時，也對在使用生根粉2個小時后的生根量進(jìn)行了統(tǒng)計，這20株花卉生根量如下表所示，其中生根量在6根以下的視為“不足量”，大于等于6根為“足量”.現(xiàn)對該20株花卉樣本進(jìn)行統(tǒng)計，其中“花卉存活”的13株.已知“花卉存活”但生根量“不足量”的植株共1株.

編號

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

生根量

6

8

3

8

9

5

6

6

2

7

7

5

9

6

7

8

8

4

6

9

（1）完成列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“花卉的存活”與“生根足量”有關(guān)？

生根足量

生根不足量

總計

花卉存活

花卉死亡

總計

20

（2）若在該樣本“生根不足量”的植株中隨機(jī)抽取3株，求這3株中恰有1株“花卉存活”的概率.

參考數(shù)據(jù)：

獨(dú)立性檢驗(yàn)中的，其中.

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同步練習(xí)冊答案