Question

【題目】已知梯形中，,,,,是上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)，沿將梯形折起，使平面平面.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）記以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】證明見解析；最大值

【解析】

(1)由平面平面,,可得,進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系,求出的方向向量,根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為,即可證得;

(2)根據(jù)等體積法,我們可得的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),易求出有最大值;

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,我們求出平面和平面的法向量,代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值.

解：(1)證明：因?yàn)槠矫?/span>平面,

,,

,平面,

,,

又,故可如圖建立空間坐標(biāo)系：

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),,.

則,,

,

(2)平面,

所以

,

即：時(shí)有最大值為

(3)設(shè)平面的法向量為,

,、、,

、,

則,

即

取

平面

平面一個(gè)法向量為

則.