Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形即可得證；
（Ⅱ）由a，bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，
∴cosB的最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．