Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF₂與x軸垂直，直線MF₁與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．
（1）若直線MN的斜率為

3

4

，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F₁N|，求a，b．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線MN的斜率為

3

4

，建立關(guān)于a，c的方程即可求C的離心率；
（2）根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F₁N|，建立方程組關(guān)系，求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF₂與x軸垂直，
∴M的橫坐標(biāo)為c，當(dāng)x=c時(shí)，y=

b2

a

，即M（c，

b2

a

），
若直線MN的斜率為

3

4

，
即tan∠MF₁F₂=

b2 a

2c

=

b2

2ac

=

3

4

，
即b²=

3

2

ac=a²-c²，
即c²+

3

2

ac-a²=0，
則e2+

3

2

e-1=0，
即2e²+3e-2=0
解得e=

1

2

或e=-2（舍去），
即e=

1

2

．
（Ⅱ）由題意，原點(diǎn)O是F₁F₂的中點(diǎn)，則直線MF₁與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線段MF₁的中點(diǎn)，
設(shè)M（c，y），（y＞0），
則

c2

a2

+

y2

b2

=1，即y2=

b4

a2

，解得y=

b2

a

，
∵OD是△MF₁F₂的中位線，
∴

b2

a

=4，即b²=4a，
由|MN|=5|F₁N|，
則|MF₁|=4|F₁N|，
解得|DF₁|=2|F₁N|，
即

DF1

=2

F1N

設(shè)N（x₁，y₁），由題意知y₁＜0，
則（-c，-2）=2（x₁+c，y₁）．
即

2(x1+c)=-c 2y1=-2

，即

x1=- 3 2 c y1=-1

代入橢圓方程得

9c2

4a2

+

1

b2

=1，
將b²=4a代入得

9(a2-4a)

4a2

+

1

4a

=1，
解得a=7，b=2

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．