Question

已知△ABC的兩頂點坐標A（-1，0），B（1，0），圓E是△ABC的內切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=1（從圓外一點到圓的兩條切線段長相等），動點C的軌跡為曲線M．
（I）求曲線M的方程；
（Ⅱ）設直線BC與曲線M的另一交點為D，當點A在以線段CD為直徑的圓上時，求直線BC的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由題意，可得曲線M是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（挖去與x軸的交點），從而可得求曲線M的方程；
（Ⅱ）設與直線BC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消x，利用韋達定理，結合

AC

•

AD

=0，即可求直線BC的方程．

解答： 解：（I）由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，
所以曲線M是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（挖去與x軸的交點），
所以a=2，c=1，
所以b=

3

，
所以曲線M：

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）為所求．---------------（4分）
（Ⅱ）注意到直線BC的斜率不為0，且過定點B（1，0），

設直線BC的方程為x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
與橢圓方程聯(lián)立，消x得（4+3m²）y²+6my-9=0，
所以y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

-------------------------------------（8分）
因為

AC

=（my₁+2，y₁），

AD

=（my₂+2，y₂），
所以

AC

•

AD

=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=

7-9m2

3m2+4

注意到點A在以CD為直徑的圓上，所以

AC

•

AD

=0，即m=±

7

3

，-----（11分）
所以直線BC的方程3x+

7

y-3=0或3x-

7

y-3=0為所求．------（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．