Question

如圖，已知四邊形ABCD與CDEF均為正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）證明ED⊥平面ABCD，根據平面ABCD⊥平面CDEF，只需證明ED⊥CD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，分別求出平面BDE、平面BEC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角D-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）證明：因為平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，
又因為四邊形CDEF為正方形，
所以ED⊥CD．
因為ED?平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）解：以D為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系D-xyz．

則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．
所以平面BDE的法向量為

AC

=(-1，1，0)．…（5分）
設平面BEC的法向量為

n

=（x，y，z）．
因為

CB

=(1，0，0)，

CE

=(0，-1，1)，
所以

x=0 -y+z=0

即

x=0 y=z.

令z=1，則

n

=（0，1，1）．…6 分
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC || n |

=

1

2

．
所以二面角D-BE-C的大小為60°．…（8分）

點評：本題考查線面垂直的判定定理，考查面面角，正確運用線面垂直的判定定理，求出平面的法向量是關鍵．