Question

若不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

＞k對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，利用判別式△＜0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵x²+x+1＞0恒成立，
∴不等式恒成立，
則不等式等價(jià)為3x²+2x+2＞k（x²+x+1），
即（3-k）x²+（2-k）x+2-k＞0恒成立，
若k=3，則不等式等價(jià)為-x-1＞0，即x＜-1，不滿足條件．
若k≠3，要使不等式恒成立，則滿足

3-k＞0 △=(2-k)2-4(3-k)(2-k)＜0

，
即

k＜3 (k-2)(3k-10)＞0

，
∴

k＜3 k＞ 10 3 或k＜2

，
即k＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．