Question

3．設(shè)A，B是拋物線x²=2py（p＞0）兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
（1）求證：直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)
（2）當(dāng)線段AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求p的值．

Answer 1

分析 （1）欲證直線經(jīng)過定點(diǎn)，只需找到直線方程，在驗(yàn)證不管參數(shù)為何值都過某一定點(diǎn)即可，可根據(jù)直線OA，OB垂直，設(shè)AB方程，根據(jù)OA，OB垂直消去一些參數(shù)，再進(jìn)行判斷；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)OA，OB垂直，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再用點(diǎn)到直線的距離公式求AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的，求出最小值，讓其為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解參數(shù)p即可．

解答 （1）證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則 x₁²=2py₁，x₂²=2py₂．
經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．
由y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，y₂=$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$
得（x₂-x₁）（y-y₁）=（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$）（x-x₁）．
∵x₁≠x₂．
令x=0，得y-y₁=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$（x-x₁），
∴y=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}$（*）
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，從而x₁x₂+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4{p}^{2}}$=0．
∵x₁x₂≠0，∴x₁x₂=-4p²．
代入（*），得 y=2p，
∴AB始終經(jīng)過定點(diǎn)（0，2p）．
（2）解：設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴x₁²+x₂²=2py₁+2py₂=2p（y₁+y₂）．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²+8p²，
∴4x²+8p²=4py，
即y=$\frac{1}{p}$x²+2p．…①
AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離d=$\frac{|y-2x|}{\sqrt{5}}$．
將①代入，得d=$\frac{|\frac{1}{p}{x}^{2}-2x+2p|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{p}（x-p）^{2}+p}{\sqrt{5}}$，
因?yàn)閐的最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴當(dāng)x=p時(shí)，取得最小值$\frac{p}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴p=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和應(yīng)用，主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用，同時(shí)考查直線恒過定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．