Question

18．（1）已知{a_n}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證：{a_n²}也是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_n+S_n=n，c_n=a_n-1，求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可．
（2）通過a_n+S_n=n與a_n+1+S_n+1=n+1作差、整理可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），進而可知數(shù)列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；

解答 證明：（1）{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，當(dāng)n≥2時，$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{{n-1}^{2}}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$）=q²為常數(shù)，故{a_n²}為等比數(shù)列；
（2）：∵a_n+S_n=n，
∴a_n+1+S_n+1=n+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n+a_n+1=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵c_n=a_n-1，
∴c_n+1=$\frac{1}{2}$c_n，
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴c₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．