Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+3a-3-10ln（x+3），其中a∈R
（1）當(dāng)a=-4時，求函數(shù)f（x）的極值
（2）若曲線y=f（x）不經(jīng)過第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點，繼而求出函數(shù)的極值；
（2）有題意得到f（0）≥0，并判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-4時，f（x）=x²-2x-15-10ln（x+3），x＞-3，
∴f′（x）=2x-2-$\frac{10}{x+3}$=$\frac{2（x-2）（x+4）}{x+3}$
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-4（舍去），
當(dāng)x＞2時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)-3＜x＜2時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時，函數(shù)有極小值，極小值為f（2）=-15-10ln5，
無極大值．
（2）∵f（x）=x²+（a+2）x+3a-3-10ln（x+3），
∴f（0）=3a-3-10ln3，
∵y=f（x）不經(jīng)過第四象限，
∴當(dāng)x≥0時，y≥0，
∴f（0）=3a-3-10ln3≥0，
解得a≥1+$\frac{10ln3}{3}$，
∵f′（x）=2x+（a+2）-$\frac{10}{x+3}$，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=a+2-$\frac{10}{3}$，
∵a≥1+$\frac{10ln3}{3}$，
∴f′（x）≥1+$\frac{10ln3}{3}$+2-$\frac{10}{3}$＞3＞0，
∴當(dāng)x≥0時，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）≥0，
故a的取值范圍為[1+$\frac{10ln3}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，參數(shù)的取值范圍，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．