Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．

（1）求角A；

（2）若△ABC外接圓的面積為4π，且△ABC的面積，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

(1)根據正弦定理邊化角,再利用三角函數和差角公式化簡求解即可.

(2)利用正弦定理可得,再結合面積公式與余弦定理求解即可.

解：（1）法一：已知,由正弦定理得2sinAcosB＝2sinC﹣sinB＝2sin（A+B）﹣sinB,

可得：2cosAsinB﹣sinB＝0,可得：sinB（2cosA﹣1）＝0,

∵sinB≠0,

∴,

∵A∈（0,π）,

∴.

法二：已知,由余弦定理得,可得：a2＝b2+c2﹣bc

又a2＝b2+c2﹣2bccosA,

∴,

∵A∈（0,π）,

∴.

（2）由△ABC外接圓的面積為πR2＝4π,得到R＝2,

由正弦定理知,

∴.

∵△ABC的面積,可得bc＝8.

法一：由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc,即12＝（b+c）2﹣24

從而b+c＝6,故△ABC的周長為.

法二：由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc,即b2+c2＝20

從而或,

故△ABC的周長為.