Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=

π

2

，AB∥CD，PC⊥面ABCD，PC=AD=DC=

1

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AB，E為線段AB的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PDE；
（2）求二面角A-PE-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）在面PDE內(nèi)找一條線DE，通過證明DE⊥AC，DE⊥PC，從而證明DE和面PAC垂直，即可證得面PDE⊥面PAC．
（2）用三垂線定理作二面角的平面角∠AEF，在△PAO中有面積相等不難算出AF=

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a，而AE=a，解Rt△AFE可得∠AEF的大小．

解答：（1）證明：在直角梯形ABCD中，容易知道四邊形AECD是正方形，
∴DE⊥AC，
又PC⊥面ABCD，
∴DE⊥PC∴DE⊥面PAC，
∴面PDE⊥面PAC；

（2）解：記PC=a，用三垂線定理作二面角的平面角．
記AC、DE交于O，連PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交線，
過A作PO的垂線交PO（的延長線）于F，
則AF⊥面PDE，即F是A在面PDE內(nèi)的射影，
又容易證明AE⊥面PEC，則AE⊥PE，于是FE⊥PE，
∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；
在△PAO中有面積相等不難算出AF=

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a，
而AE=a，在Rt△AFE中，∠AEF=arcsin

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．

點評：用三垂線定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法．其過程概括為：找一垂找（作）一個面內(nèi)一點P在另一個面內(nèi)的射影P^/，作二垂過P（或P^/）作二面角棱l的垂線，垂足為Q，連三垂連P^/Q，則l⊥P^/Q，于是∠PQP^/為二面角的平面角；計算該角在直角三角形內(nèi)進行；在上述過程中，“找一垂”是關(guān)鍵．