Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍．若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為（　　）

• A、x²=

  8 3

  3

  y
• B、x²=

  16 3

  3

  y
• C、x²=8y
• D、x²=16y

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，推出a，b的關(guān)系，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．

解答： 解：∵雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，
∴c=2a，即

a2+b2

a2

=4，
∴

b2

a2

=3，
雙曲線的一條漸近線方程為：

x

a

-

y

b

=0．
拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)（0，

p

2

）到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，
∴2=

| p 2b |

1 a2 + 1 b2

，
∵

b2

a2

=3，∴p=8．
∴拋物線C₂的方程為x²=16y．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力．