Question

給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1
②存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

③函數(shù)y=sin（

3

2

π+x）是偶函數(shù)
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的一條對(duì)稱軸方程
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
⑥若α、β∈（

π

2

，π），且tanα＜cotβ，則α+β＜

3π

2

其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①；
根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷②；
根據(jù)誘導(dǎo)公式得到y(tǒng)=sin（

3

2

π+x）=-cosx，再由余弦函數(shù)的奇偶性可判斷③；
x=

π

8

代入到y(tǒng)=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可判斷④．
⑤舉反例加以說(shuō)明．⑥利用相同的單調(diào)區(qū)間上正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷．
通過(guò)以上分析即可得到正確答案．

解答： 解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，與正弦函數(shù)的值域矛盾，故①不對(duì)；
∵sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，從而可判斷②不對(duì)；
∵y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，為偶函數(shù)，故③正確；
將x=

π

8

代入到y(tǒng)=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的一條對(duì)稱軸方程，故④正確．
⑤取α=

13π

6

，β=，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命題⑤錯(cuò)誤．
⑥：∵α、β∈（

π

2

，π），∴-π＜-β＜-

π

2

，

π

2

＜

3π

2

-β＜π，
又cotβ=tan（

π

2

-β）=tan（

3π

2

-β），tanα＜cotβ，
∴tanα＜tan（

3π

2

-β），α、

3π

2

-β∈（

π

2

，π），又y=tanx在（

π

2

，π）上單調(diào)遞增，
∴α＜

3π

2

-β，即α+β＜

3π

2

．正確
故答案為：③④⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的對(duì)稱性．考查三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用．三角函數(shù)的公式比較多，很容易記混，平時(shí)要注意積累．