設函數(shù)數(shù)學公式．
①求它的定義域；
②求證：數(shù)學公式；
③判斷它在（1，+∞）單調(diào)性，并證明．

解：①由于函數(shù)，故有1-x2≠0，x≠±1，故函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
②證明：∵，∴===-f（x）．
③函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設1＜x1＜x2＜+∞，
則可得 f（x1）-f（x2）=-=．
再由1＜x1＜x2＜+∞，可得 ，，，
∴＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：①由于函數(shù)，故有1-x2≠0，由此求得x的范圍，即可得到函數(shù)的定義域．
②由 ，把x換成 可得 ===-f（x）．
③函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進行證明．
點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定義：設f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f′′（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．已知函數(shù)f（x）=x3-6x2+5x+4，請回答下列問題．（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論；
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（1，3）（不要過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•東營一模）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
已知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（-1，3）（不要過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），定義：若存在非零常數(shù)M、T，使函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都滿足f（x+T）-f（x）=M，則稱函數(shù)y=f（x）是準周期函數(shù)，常數(shù)T稱為函數(shù)y=f（x）的一個準周期．如函數(shù)f（x）=x+（-1）x（x∈Z）是以T=2為一個準周期且M=2的準周期函數(shù)．
（1）試判斷2π是否是函數(shù)f（x）=sinx的準周期，說明理由；
（2）證明函數(shù)f（x）=2x+sinx是準周期函數(shù)，并求出它的一個準周期和相應的M的值；
（3）請你給出一個準周期函數(shù)（不同于題設和（2）中函數(shù)），指出它的一個準周期和一些性質(zhì)，并畫出它的大致圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山二模）已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù)，它在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在點M（x0，y0），使得f（x）在點M的切線斜率為3b？若存在，求出M點的坐標，若不存在，則說明理由；
（Ⅲ）設f（x）的圖象交x軸于A、B、C三點，且B的坐標為（2，0），求線段AC的長度|AC|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•閘北區(qū)一模）現(xiàn)定義復函數(shù)如下：在某個變化過程中有兩個變量z與w，如果對于z的某個范圍D內(nèi)的每一個確定的復數(shù)，按照某個對應法則f，w都有唯一確定的復數(shù)與它對應，那么，我們就稱w是z的復函數(shù)，記作w=f（z）．設復函數(shù)f(z)=
.
z
z2+1
，
（Ⅰ）求f（1+i）的值； 
（Ⅱ）若f（z）=1，求z的值．

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